图像边缘通常携带了大部分的语义和形状信息，边界检测是任务就是识别图像中的突变/不连续性（表面、深度、颜色、光照）
图像是一个2D函数$f(x,y)$，在离散条件下并不适用极限定义下的导数，而是采用差分：
前向差分：
\[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \approx \frac{f(x + 1, y) - f(x, y)}{1}\]中心差分：
\[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \approx \frac{f(x + 1, y) - f(x - 1, y)}{2}\]由于是近似的线性映射，所以图像的偏导数可以通过图像滤波来计算：
| 微分矩阵 | 水平 | 垂直 |
|---|---|---|
| Prewitt | $\begin{bmatrix}-1&0&1\ -1&0&1\-1&0&1\end{bmatrix}$ | $\begin{bmatrix}1&1&1\0&0&0\-1&-1&-1\end{bmatrix}$ |
| Sobel | $\begin{bmatrix}-1&0&1\-2&0&2\-1&0&1\end{bmatrix}$ | $\begin{bmatrix}1&2&1\0&0&0\-1&-2&-1\end{bmatrix}$ |
但是噪声对图像影响严重，方差几乎翻倍。所以在求导前还需要对图像进行预处理。
与其使用f与高斯函数卷积后求导，可以直接让原图像与高斯导数滤波以加速。
使用高斯导数(Gaussian Derivative) 后，确实去除了噪声，但是图像边缘也被模糊了。
梯度指向强度最快增加的方向，方向由$\theta=\tan^{-1}{(\frac{\partial f}{\partial x}/\frac{\partial f}{\partial y})}$给出，而大小由$|\nabla f| = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}$给出。
预处理Preprocessing：灰度转换 + 高斯模糊；
使用中心差分法计算梯度图像（而不是向前差分法），这样更准确；
计算梯度大小。 索贝尔边缘检测器通过阈值化梯度大小来获得边缘。但阈值是脆弱的，并且很难选择合适的阈值。
Non-Maximum Suppression非极大抑制：
确定位置时，除了边缘，我们还可以依靠拐角来进一步确定位置。
一个角可以检测为两个或多个边的交点，关键思想在于通过在移动一个小的局部窗口时测量（边缘方向）变化强度来表征角点。
高效制备亚铁离子（作者整活）：
\[(Fe^{3+})'=3(Fe^{2+})\]