Ruixiang Li

Lecture03：Bits，Bytes，and Integers cont

Addition

对于 Unsigned Addition，两个w位的数字相加的真实结果应该是w+1位，而通常会舍弃前面一位变成w位。我们可以将其视为一种模运算：$ s = UAdd_w(u, v) = (u+v)\mod{2^w} $

对于 Two’s Complement Addition，在位运算上存在与上述相同的行为，例如对于代码：

int s, t, u, v;
s = (int)((unsigned) u + (unsigned) v);
t = u + v

会给出s == t的结果。(positive overflow & negitive overflow)有时会出现超出上限的正溢出和小于下限的负溢出（以w=4为例）：7+5=-4，(-3)+(-6)=7。

Negation

本质上就是加法，同上；

Multiplication

对于（w位）乘法，我们可能会需要2w位来存储结果：

但是实际上，我们依然会截取最后w位，对无符号数来说，就是模运算：$ UMult_w(u,v)=u\cdot v\mod{2^w} $。但是对于补码，我们的位运算是一致的，但是仍然由余下的最高位数决定结果符号，而不考虑原来的符号。

Shifting

Power-of-2 Multiply with Shift

位运算u << k等效于u * 2^k，不论是 signed or unsigned。其结果依然是w位。

Unsigned Power-of-2 Divide with Shift

位运算u >> k等效于[u / 2^k](向下取整)，使用逻辑位移，结果依然是w位。（参考带余除法）

对于补码来说，C语言标准并没有明确指出使用什么位移，不过对大多数机器来说的算数位移。

Counting Down with Unsigned

如果我们使用unsigned int作为数组索引倒数，很可能会出现下溢出现象导致数组超限（即使使用int，sizeof()函数的返回值是无符号类型，会强制转换int。）：

unsigned i;
for (i = cnt-2; i >= 0; i--)
    a[i] += a[i+1]

#define DELTA sizeof(int)
int i;
for (i = CNF; i - DELTA >= 0; i -= DELTA)
    ...

解决办法之一是确保改用signed int；另一种方法则是：

unsigned i;
for (i = cut - 2; i < cnt; i--)
    a[i] += a[i+1]

一旦发生下溢，就会因为i = UMAX > cut而跳出循环，避免数组索引超限。

以及：

size_t i;
for (i = cut-2; i < cut; i--)
    a[i] += a[i+1]

在 32 位机器上，size_t 通常是 unsigned int；而在 64 位机器上，size_t 通常是 unsigned long long。

Representations in memory，pointers，strings

Byte-oriented Memory Organization

计算机内存相当于一个巨大的字节数组，一个地址就像是这个数组的索引，指针变量存储的就是一个地址。

系统为每个“进程”提供了私有的地址空间，因此，一个程序可以修改自己的数据，但不能修改其他程序的数据。

Machine Words

任何一个机器都有其字长(Word Size)，表示其惯常处理的数据和运算，决定了整数数据的标准大小和地址的大小。

32 位（4 字节）的机器限制存储空间为4GB（2^32 字节）；64位机器则潜在支持 18PB（Petabytes，即千万亿字节）的可寻址内存。

不过机器依然支持不同的数据格式：

Word-oriented Memory Organization

地址通常是一个字(Word) 的第一位， 连续内存通常以每4位或8位分隔，方便内存对齐。

Byte Ordering

在多字节字（multi-byte word）中，各个字节在内存中的存储，我们有如下约定：

例如：对于数0x01234567，存储为：

  大端序 小端序
地址 数据 数据
0x0001 0x01 0x67
0x0002 0x23 0x45
0x0003 0x45 0x23
0x0004 0x67 0x01

这段代码可以以字节级的方式（byte-level）查看数据的存储表示。它将数据的每个字节打印出来，包括字节在内存中的地址和对应的值（以十六进制表示）。

typedef unsigned char *pointer;

void show_bytes(pointer start, size_t len){
    size_t i;
    for(i = 0; i < len; i++)
        // 遍历每个字节的索引
        printf("%p\t0x%.2x\n", start+i, start[i]);
    printf("\n");
}

printf("%8p\t0x%.2x\n", start+i, start[i]);