每个 bit 是 0 或1；
数字、字符串、集合等用不同方式编码为 bits，以告诉计算机该干什么；在数字世界里可以通过各种模拟信号来对 bit 进行量化
为什么使用 bit？（电子实现）
bit 可以通过二进制表示，例如：
$15213_{10}\rightarrow 11101101101101_{2}$
$1.20_{10}\rightarrow 1.00110011[0011]…_{2}$
$1.5213_{10}\rightarrow 1.1101101101101_2\times2^{13}$
Byte = 8 Bits
表示范围：$ 00000000_2\ to\ 11111111_2 $ ，十进制：$ 0_{10}\ to\ 255_{10} $ ，十六进制：$00_{16}\ to\ FF_{16}$。
| Hex | Decimal | Binary | Hex | Decimal | Binary |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0000 | 8 | 8 | 1000 |
| 1 | 1 | 0001 | 9 | 9 | 1001 |
| 2 | 2 | 0010 | A | 10 | 1010 |
| 3 | 3 | 0011 | B | 11 | 1011 |
| 4 | 4 | 0100 | C | 12 | 1100 |
| 5 | 5 | 0101 | D | 13 | 1101 |
| 6 | 6 | 0110 | E | 14 | 1110 |
| 7 | 7 | 0111 | F | 15 | 1111 |
十六进制使用 '0' ~ '9' 和 ’A‘ ~ ’F‘；
$FA1D37B_{16}$ 在 C 语言中写为：0xFA1D37Bor0xfa1d37b。
C 语言中的数据类型的字节数：
| 数据类型 | Typical 32-bit | Typical 64-bit | x86-64 |
|---|---|---|---|
char |
1 | 1 | 1 |
short |
2 | 2 | 2 |
int |
4 | 4 | 4 |
long |
4 | 8 | 8 |
float |
4 | 4 | 4 |
double |
8 | 8 | 8 |
long double |
- | - | 10/16 |
pointer |
4 | 8 | 8 |
将True编码为1，False编码为0。0，1作为了逻辑最基本的值。布尔运算包括：与&（and）、或|（or）、非~（not）、异或^（Exclusive-Or，xor）。
| 运算 | 条件 | 简记 |
|---|---|---|
| And | A&B=1当且仅当A=1 and B=1 |
同真为真 |
| Or | A\|B=1当A=1 or B=1 |
有真为真 |
| Not | ~A=1当且仅当A=0 |
真假互换 |
| Xor | A^B=1当且仅当A!=B |
相异为真 |
当我们操作连续的比特时，可以视为对每个比特位进行了布尔操作。将连续的比特从左到右编号，并将1所在的位数记录，得到比特数和集合的一一对应关系，如下：
| 比特数/编号 | 集合 |
|---|---|
| 01101001 76543210 |
{0，3，5，6} |
| 01010101 76543210 |
{0，2，4，6} |
那么布尔操作也可以视为集合的运算，如下：
| 布尔操作 | 结果 | 结果集合 | 集合操作 |
|---|---|---|---|
& |
01000001 | {0，6} | 交集 |
\| |
01111101 | {0，2，3，4，5，6} | 并集 |
~ |
10101010 | {1，3，5，7} | 补集 |
^ |
00111100 | {2，3，4，5} | 对称差集 |
逻辑运算包括：&&，||和!，将0视为False，所有非0数视为True，并且总返回0或1。
逻辑运算会导致提前终止(Early termination)。
example：
!0x41 -> 0x00
!0x00 -> 0x01
!!0x41 -> 0x01
0x69 && 0x55 -> 0x01
0x69 || 0x55 -> 0x01
p && *p（一种短路逻辑运算表达式，用来做指针判空和间接访问指针指向内容的判断或保护操作）
位运算包括左移和右移操作，后者又细分为逻辑右移和算数右移。
Left Shift左移：x << y将位向量x左移y位。
左侧的位将被丢弃，右侧空位由0补足。
Right Shift右移：x >> y将位向量x右移y位。
右侧的位将被丢弃，逻辑右移(Logical shift)会用0填补左侧空位，算数右移(Arithmetic shift)会用原最高位来填补左侧空位。
当位移量小于0或大于等于位向量长度，会发生未定义行为(Undefined Behavior)。
example：
| x | « 3 | Log. » 2 | Arith. » 2 |
|---|---|---|---|
| 01100010 | 00010000 | 00011000 | 00011000 |
| 10100010 | 00010000 | 00101000 | 11101000 |
计算机表示负数通常通过二进制补码(Two’s Complement) 表示：
| Unsigned | Two’s Complement |
|---|---|
| $ B2U(X)=\sum_{i=0}^{w-1}x_i\cdot 2^i $ | $ B2T(X)=-x_{w-1}\cdot2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}x_i\cdot 2^i $ |
其中第w-1位称为符号位(Sign Bit)，1为负0为正。
用二进制补码表示负数时，通常先求其正数的二进制表示，然后逐位取反，最后加 1 。
例如：15213：00111011 01101101，而-15213：11000100 10010011 。
对于无符号整数，其表示范围是0到 2的位数次方；而有符号整数的范围是$-2^{w-1}$到$2^{w-1}-1$。
| UMAX | UMIN | TMAX | TMIN | Minus 1 |
|---|---|---|---|---|
11111111 11111111=65535 |
00000000 00000000=0 |
01111111 11111111=32767 |
10000000 00000000=-32768 |
11111111 11111111=-1 |
UMAX = TMAX * 2 + 1 = TMAX - TMIN，TMAX = - TMIN - 1
在两者做出比较时，如果出现 signed 和 unsigned 混合的情况，均被视为 unsigned。
如果要将一个w位整数 扩展(Expanding) 为w+k位整数，只需在前面复制原有的最高位；如果将数据截断(Truncating)，两者都会被重新解释，Unsigned会出现模运算，Signed也会表现出类似于模运算的表现。