并查集是通过将离散的元素连接起来union(p, q)，并检查两个元素是否相连connected(p, q)的算法/数据结构。
我们可以直接用一个数组来表示这个结构，其下标就是元素编号，内容则是与其相连的节点。初始化就可以通过id[i] = i来进行。
从某种程度上，UF可以类比于一个无圈图（指图论中的无圈图），是有空的根或者一些没有明确根节点的树组成。
一个朴素的想法是将相连的元素对应的内容设置为同一个值，查找的时候只需要检查其内容是否相同即可；
可以类比键值对/树，相连的元素有相同的值/根节点；
但是带来的问题则是union算法需要N级别的时间复杂度。
我们将这个数组改进为一个树的线性存储结构，即每个索引保存其父节点的索引，root for i is id[id[id...id[i]...]]，这样查找只需要检查其根节点是否相同，而union算法只需要将一方的根节点的指向从自己变成另一方的根节点即可。
实际上是让这些树有了明确的根节点，connect用于判断两个元素是否在同一树上；union用于两棵树和合并。
但是这样的情况下，树的结构无法确定。在最坏情况下，不仅union算法的时间复杂度在$N$级别，connected算法也达到了$N$级别。（即查找根节点的问题。如果树非常细长、层数过深甚至无法保持树的结构，会急剧加大计算的开销）
第一种优化是Weighting带权。我们可以将一个树的大小（元素个数）作为一棵树的权，在每次合并树的时候，总是让较小的树成为较大树的子树，来避免树的高度过大。
这样，查找过程不变，union算法则需要额外维护一个size[]数组，以存储树的权。
可以证明，此时union和connected的时间复杂度均取决于树的深度（根节点深度为0，高度为1），而树的深度一定不大于$\lg N$（以2为底的对数）
Pf.可以考虑什么时候树的高度会加大。显然，当两颗树大小相同时才会使合并后的树深度 + 1，而$N$个元素最多合并$\lg N$次。
或者也可以考虑这个树的结构。同样元素个数条件下，二叉树可以达到最大深度。
第二种优化是路径压缩算法Path compression。其核心在于：每次查找结点p后，直接将p移动为其根节点的子树。这样可以极大的降低树的深度，而且只需要在查找根节点的代码中加入id[i]=id[id[i]]一行即可。
在对 $N$ 个元素的并查集进行 $M$ 次union-find 操作后访问数组最多$c(N+M\lg^N)$次，其中$\lg^$称为迭代对数函数，是指将一个数取对数变为 1 的次数，是一个增长非常缓慢的函数，$\lg^*(2^{65536})=5$，实际生活中可以认为其小于5。
实际上，在这种优化下，union和connected函数的时间复杂度可以优化到阿克曼函数，是一个比上述函数还要慢的函数。我们可以认为这几乎是一种常数时间下的算法。
当然，Friedman和Sachs证明了并查集不存在真正的常数级算法，其时间复杂度为$O(\alpha(n))$的。
WQUPC（Weighted Quick-Union with Path Conpression）带权路径压缩并查集是目前最优的并查集首先算法之一。实际应用中可以认为其时间复杂度为常数级。